«Металлические» сечения на практике

В разделе «Интересности» и подразделе «Число» мы публиковали статью «Числа и формулы в природе«, где представили вашему вниманию объёмную золотую спираль, основанную на золотом сечении. Золотое сечение — закономерность, которую можно найти в ряде природных и технических объектов, например, в курином яйце:

zolsech15

Или работах древних скульпторов, художников, архитекторов.


Мало того, при обучении тех же художников, архитекторов и пр. учителя рекомендуют сознательно использовать золотое сечение. Благодаря частому использованию, золотое сечение найдено в достаточно большом количестве объектов. Но, как оказалось, существуют ещё и серебряное сечение, и бронзовое сечение, и прочие безымянные «металлические» сечения. Они интересны и практически не изучены. Но, кто знает, может и их можно использовать на практике?

«Металлические» сечения на практике — это то, что нам нужно. Потому что большинство людей говорит: «Ну да, хорошие закономерности, красиво. И что с того?» И правда, очень мало советов, как применять даже хорошо изученное золотое сечение в реальности.

То, как применяется на практике золотое сечение художниками, мы можем показать на основе книги Яны Франк «Тайные знания коммерческих иллюстраторов». Принцип очень прост:

zolsech16

Приближённое значение золотого сечения — длинная сторона листа бумаги делится на 5 частей, короткая — на 3 части (потому что 5/3 близко к значению золотого сечения). Через полученные точки проводятся линии. Пересечения линий — удачные места для расположения ключевых моментов картины.

Само собой, весьма вероятно, аналогичный подход можно применить для практического использования других металлических сечений.

Иллюстрированные металлические сечения.

Общее уравнение для «металлических» сечений:

х2 — рх — 1 = 0

И его решение в виде дроби:

zolsechВ зависимости от значения р, мы получаем различные уравнения:

Если р = 1, то получится золотая пропорция:

х2 — х — 1 = 0

Решение:

zolsech2

Решение в более привычном виде:

zolsech3

≈ 1,618


(a+b) :  b =  b :  a  ≈ 1,618

Если   (a+b) = 1, то справедливо соотношение

1 : 0,618 = 0,618 : 0,382 = 1,618

И наоборот:

a : b = b : (a+b)  ≈ 0,618

0,382 : 0,618 = 0,618 : 1

В процентном соотношении — а = 38 %,  b = 62 %

Геометрическое отображение золотого сечения:

zolsech18

Соотношения отрезков: a : b = b : c

Пример золотого сечения в человеческом теле:

zolsech17

Если р = 2, то выйдет серебряное число.

х2 — 2х — 1 = 0

Решение:

zolsech4

Решение в адекватном виде:

zolsech5

≈ 2,414

a : b =  (2a + b) : a ≈  2,414

Если  (2a + b) = 1, то справедливо соотношение:

0,414 : 0,171= 1 : 0,414 ≈  2,414

при этом  2a + b = 2*0,414 + 0,171 ≈ 1

В процентном округлённом соотношении — а = 41 %,  b = 18 %

Геометрическое отображение серебряного сечения:

zolsech19

Нанесём сетку серебряного сечения на лист бумаги. Это дробь, например, 12/5. Значит, длинную сторону листа делим на 12 частей, короткую — на 5.

zolsech21

В теории, места пересечения прямых — удачные места для размещения деталей композиции с точки зрения серебряного сечения:

А теперь посмотрим, что будет, если наложить решётку золотого сечения (жёлтая) на решётку серебряного сечения (серая):

zolsech22

У нас появляются более главные точки серебряного сечения, соседствующие с точками сечения золотого.

Если р = 3, то получается бронзовое число.

Решение:

zolsech6Решение в адекватном виде:

zolsech7

≈ 3,303

a : b =  (3a + b) : a ≈  3,303

Если  (3a + b) = 1, то справедливо соотношение:

0,303 : 0,092= 1 : 0,303 ≈  3,303

при этом  3a + b = 3*0,303 + 0,092 ≈ 1

В процентном округлённом соотношении — а = 30 %,  b = 10 %

Графическое изображение бронзового сечения — нижнее:

zolsech25

Дальнейшие сечения увеличивают количество квадратов и уменьшают хвостик справа, так что на этом рисунке остановимся, и перейдём к нашей сетке.

Подходящая дробь — 10/3. Рисуем сетку бронзового сечения:

zolsech23

Накладываем сетки… И чудо! Сетка бронзового сечения (оранжевая) совпала с сеткой золотого сечения (жёлтое) — на рисунке они разделены лишь для видимости:

zolsech24

Следовательно, места, обозначенные золотым сечением, по прежнему остаются перспективными с точки зрения расположения главных частей рисунка.


Если р = 4, 5, 6, то решения уавнений выглядят так:

х = 2 + √5 ≈  4,236 ≈ 17/4

х = (5 +  √29)/2 ≈  5,193 ≈ 26/5

х = 3 + √10 ≈  6,162 ≈ 37/6

И так далее.

Если построить сетки, то видно, что выбивается из системы только 17/4, завышая место расположения кругов. 26/5 и 37/6 вписываются в уже нарисованные круги.

Существует ещё и медное (8/4) и никелевое (примерно 7/3) сечения и их производные. Существует пластиковое сечение (примерно 4/3). Существует второе золотое сечение (примерно 56/44). Как видите, пересечения решёток этих сечений находятся в пределах точек золотого сечения. И площадь нахождения точек растёт с ростом металлических сечений. Но всё равно находится в «золотой» области.

Таким образом, можно сделать вывод:

Металлические сечения — красивая математическая абстракция, неприменимая на практике.

Многие значения металлических сечений вписываются в окрестности сечения золотого.

Поэтому практический вывод:

Пользуйтесь золотым сечением, и все остальные металлические сечения учтутся. Ведь основное свойство металлических сечений — приблизительные значения. То есть, неточные. То есть, хаотичные в определённых пределах. А это именно то, что люди считают эстетичным — некоторый хаос, в котором легко можно найти закономерность.

Удачного рукоделия с металлическими сечениями!

zolsech

По материалам Википедии, http://www.iluhin.com/notes/zs/index.html (более популярно) и больше математических подробностей — http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320029.htm

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.